Zad. 1 Które wyrazy ciagu (an), są większe od liczby x : a) an = 3n + 1 pod pierwiastkiem , x = 4. zad. 2 Które z wyrazów ciągu (an) są równe zeru, jeśli : a) an = n^4 - 256 / n^2 - n +2 zad. 3 Które wyrazy ciagu (an) są dodatnie, jeśli : a) an = 10 - n / 3n - 16 , n należy do N. 📕https://www.matmasieliczy.pl/darmowe-mr-wzory/ darmowe wzory, których nie ma w karcie wzorów maturalnych🔽Więcej rozwiązań zadań z ciągów i nie tylko \(a_n>5\\ (n-3)^2>5\\ n^2-6n+9>5\\ n^2-6n+4>0\\ \Delta =(2\sqrt{5})^2\\ n_1=\frac{6-2\sqrt{5}}{2}=3-\sqrt{5}\\ n_2=3+\sqrt{5}\\ n\in (-\infty, 3-\sqrt{5})\cup (3 Co to są liczby pierwsze i jakie jest ich zastosowanie? Liczby pierwsze do 100. Liczby pierwsze to zagadnienie, które od stuleci zaprząta głowy matematyków. Od momentu, gdy w IV wieku p.n.e. Euklides dowiódł, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, naukowcy nieustannie starają się odkrywać kolejne z nich. . rodzaje zadań MATERIAŁ MATURALNY > ciągi RODZAJE ZADAŃ Na podstawie wzoru ciągu, oprócz określenia jego monotoniczności (poprzedni podrozdział), powinniśmy potrafić odpowiedzieć na kilka podstawowych pytań:1) Czy istnieje dany wyraz ciągu? 2) Który wyraz ciągu przyjmuje daną wartość? 3) Ile wyrazów (lub: które wyrazy) ciągu przyjmuje wartość dodatnią/ujemną? 4) Ile wyrazów (lub: które wyrazy) ciągu przyjmuje wartość większą/mniejszą od danej liczby? Odpowiedź na każde z powyższych pytań wymaga w zasadzie rozwiązania konkretnego równania/nierówności. Mogą to być równania różnego typu, co uzależnione jest od wzoru ciągu (liniowe, kwadratowe, wykładnicze …). Wszystkie typy przedstawiliśmy w poprzednich przedstawienia, jak dokładnie się to odbywa, przedstawimy cztery przykłady, odpowiadające czterem przedstawionym powyżej pytaniom. 1) Czy istnieje wyraz ciągu o wzorze ogólnym o wartości 2?Aby odpowiedzieć na to pytanie, podstawiamy do wzoru wartość 2 (uwaga: wartość konkretnego wyrazu to an), a następnie rozwiązujemy powstałe równanie. Obliczamy w ten sposób „n” (numer wyrazu).Dla przykładu: Po rozwiązaniu równania interpretujemy wynik. Kluczowym jest fakt, że „n” przyjmuje wartości naturalne (1, 2, 3..). Jeżeli otrzymamy inny wynik, oznacza to, że nie ma takiego wyrazu ciągu. Odpowiedź: Nie istnieje wyraz ciągu o wzorze ogólnym an= 3n – 5 o wartości 2. 2) Który wyraz ciągu o wzorze ogólnym przyjmuje wartość -10?Podobnie jak w przypadku poprzedniego pytania podstawiamy do wzoru daną wartość (-10) i obliczamy „n”(numer wyrazu). Odpowiedź: Wartość -10 przyjmuje czwarty wyraz ciągu. 3) Ile wyrazów ciągu o wzorze ogólnym przyjmuje wartość ujemną?W przeciwieństwie do dwóch poprzednich pytań, nie mamy do czynienia z konkretną wartością. Wartość ma być ujemna, czyli mniejsza od zera. Szukamy takich „n” dla których po podstawieniu do wzoru ciągu otrzymamy wartość mniejszą od zera. Będziemy mieć do czynienia z nierównością: Interpretujemy wynik. Chodzi o wyrazy o numerze mniejszym od 7,5 (pamiętajmy: muszą to być liczby naturalne), czyli wyrazy o numerach: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Mamy więc siedem takich Wartości ujemne przyjmuje siedem wyrazów ciągu. 4) Które wyrazy ciągu o wzorze ogólnym przyjmują wartość większą lub równą 8?Tutaj, tak jak w poprzednim typie, będziemy mieli do czynienia z nierównością. W tym wypadku wartość nie ma być większa/mniejsza od zera, ale od innej liczby. Należy także zwrócić uwagę na sformułowanie dotyczące znaku nierówności – tutaj chodzi o wartość większą lub równą 8, a więc będziemy mieli do czynienia ze znakiem większa lub równa (). Odpowiedź: Dany ciąg nie ma wyrazów o wartości większej lub równej 8. Pierwsze zadanie masz w załączniku ładnie zadaniu drugim wyrazem jest tylko 7, bo n∈R, więc wyrazem nie może być liczba ujemna, czy też równa nie robiłem, bo nie napisałeś żeby je robić oraz nie do końca widać treść czwartym zadaniu odpowiedź brzmi 48 wyrazów mimo, że wychodzi 49> 48 jest ostatnią jaka wchodzi w zakres rozwiązania tej w załączniku. ciągi Alikk: pomoże ktoś które wyraz ciągu (sn) są mniejsze od liczby m ? a)= an = √n{4} + 1, m=10 b) an= n2 − 2n, m=8 c) an = 2 − √2{n}, m= √5{3} 1 lut 16:18 Alikk: złe polecenie poprawie 1 lut 16:20 Alikk: ktore wyrazy ciągu (an) sa mniejsze od liczby m ? a) an = n4 + 1, m=10 b) a+n = n2 − 2n, m=8 c) an = 2 − 2n, m= 53 1 lut 16:22 Alikk: w b ma być an 1 lut 16:23 Skipper: b) n2−2n<8 ⇒n2−2n−8<0 Δ=36 n1=−2 n2= 4 znasz parabolę na której układają się kolejne wyrazy ciągu Mniejsze od 8 są pierwszy, drugi i trzeci wyraz 1 lut 16:24 Alikk: dziękuje a jeszcze jedno mam pytanie ktore wyrazy ciągu sa rowne zeru ? an = 12n−3n+2 1 lut 16:28 pigor: ... , żaden, bo an=0 ⇒ 12n−3=0 ⇔ n=13 ∉ N (13 nie jest liczbą naturalną). ... 1 lut 16:48 Alikk: a z tego wyzej potraficie a i c 1 lut 16:50 Granica ciągu Granica właściwa ciągu : Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego , jeżeli do każdego otoczenia liczby należą prawie wszystkie wyrazy ciągu , co zapisujemy lub . Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza „wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby wyrazów”. Ciąg , który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym. Ciągi, które nie są zbieżne nazywamy rozbieżnymi. Granica niewłaściwa ciągu : Ciąg nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy Ciąg nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy Twierdzenia o ciągach zbieżnych · Ciąg stały, czyli ciąg, którego wszystkie wyrazy są równe pewnej liczbie , jest zbieżny i liczba jest jego granicą. · Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. · Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony, ale nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny (np. ciąg naprzemienny ) . · Jeżeli i , to : . · Jeżeli i i prawie wszystkie wyrazy ciągów i spełniają warunek , to . · Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli i i jeśli jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność , to . · Twierdzenie o ciągu monotonicznym: Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny. Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny. · Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa: Z każdego ciągu liczbowego ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. Granice niektórych ciągów , , , jeśli , , Jeśli , to: oraz

które wyrazy ciągu an są mniejsze od liczby m